Cat это малые категории

Cat это малые категории

Ну или так

Но тогда Set не является объектом Cat

точно не является?

Ну она ж большая

Set - это категория малых множеств, если я правильно помню

Да, про малые множества это я конечно фигню сказал

а ну да

Set - это категория малых множеств, если я правильно помню

это просто малая категория, где морфизмы образуют множество

Sets - категория множеств и функций между ними, она по определению малая. К малым множествам это отношения не имеет.

Ну и Sets является объектом Cat

википедия говорит что set это большая категория

https://en.wikipedia.org/wiki/Category_of_sets где?

лол, в русской, наверное)

к слову, в английской нигде не написано, что Set — малая категория

там не написано и что она большая

тем более "по определению" :)

я смутно помню определение из Awodey

надо поискать

так, я неправ

> For example, all finite categories are clearly small, as is the category Setsfin of finite sets and functions. (Actually, one should stipulate that the sets are only built from other finite sets, all the way down, i.e., that they are “hereditarily finite”.) On the other hand, the category Pos of posets, the category Groups of groups, and the category Sets of sets are all large. We let Cat be the category of all small categories, which itself is a large category. In particular, then, Cat is not an object of itself, which may come as a relief to some readers.

https://en.wikipedia.org/wiki/Category_of_sets где?

<...> categories formed from sets are said to be small and those (like Set) that are formed from proper classes are said to be large.

Есть две школы вообще: (i) categorical foundations for mathematics, (ii) mathematical foundations for category theory.

из https://en.wikipedia.org/wiki/Category_of_sets

то что выше из википедии явно из лагеря (ii)

а телеграм ещё не умеет латех?

и в https://en.wikipedia.org/wiki/Category_(mathematics) тоже написано

а телеграм ещё не умеет латех?

есть инлайн бот

могу привести цитату на русском из учебника по теоркату

где прямо говорится, что Set - большая

или вы тут уже разобрались?

ну везде написано, что она большая

но, конечно, было бы интересно само объяснение почему она большая

потому что множество всех её объектов не образует множество

т.к. нет множества всех множеств

это запрещено ZFC

?

даю справку

категория малых множеств является большой категорией

а что такое малое множество?

ооо!

потому что множество всех её объектов не образует множество

и мы такую логику к любой категории можем применить?

тут мы возвращаемся к тому, что віше названо "школами"

если нас интересует теория типов (хаск...), то теория множеств нас может не интересовать вообще

и мы такую логику к любой категории можем применить?

нет, про множества см. парадокс Рассела

и мы такую логику к любой категории можем применить?

вроде всё предельно ясно

категория малая, если все стрелки образуют множество и все объекты образуют множество

алсо, у "любой категории" может быть конечное кол-во объектов, например

поэтому Set_fin будет малой

K(A,B) это множество морфизмов из A и B

(я кстати про них и думал выше почему-то)

а Set - большой

категория малая, если все стрелки образуют множество и все объекты образуют множество

про стрелки я чёт не уверен, кстати, это реальное требование?

категория малая, если все стрелки образуют множество и все объекты образуют множество

про объекты лишнее, т.к. выводится

@fizruk31337 Definition 1.11. A category C is called small if both the collection C0 of objects of C and the collection C1 of arrows of C are sets. Otherwise, C is called large.

из Awodey

ну ок

не то, чтобы мне нужно было больше стрелок)

то есть не существует множества всех векторных/топологических пространств, групп?

почему?

существует, но оно не конечное

это вопрос аксиоматики

то есть здесь стоит добавить что должно быть конечное?

конечное???

забудь это слово

Examples of large categories are the category of sets, of groups, of topological spaces, of rings, of vector spaces, of modules

откуда ты его взял?

конечность тут вообще никаким боком

т.е. оно "существует" или "не существует" не в реальности, а просто как аксиома. хорошей аксиоматики, в которой есть множество всех множеств или категория все категорий никто не придумал, поэтому проще выбирать аксиому, что их не сущесвует.

Что это за книжка?

> For example, all finite categories are clearly small, as is the category Setsfin of finite sets and functions.

для тех у кого конечность никаким боком

Что это за книжка?

https://github.com/George66/Textbook

автор личность не раскрывает

О, понятно.

насколько я помню, он с МГУ

https://github.com/George66/Textbook

что значит "готическая"?