Спасибо большое за старания, но так тоже не сработало. Зато заработали вебсокеты, наверное буду юзать их. Спасибо!
Ну если решение нашлось - это прекрасно! Хотя рекомнедую не бросать нерешённые задачи, а найти причину. А ещё лучше использовать фреймворки тестирования, в данном случае Jest!
Я вот покурил немного твой код и понял, что проблема в том, что ты запускаешь сервер и клиент на одной машине, а следовательно попадаешь в CORS!
В принципе, можешь внести изменения в сервере:
res.setHeader('Access-Control-Allow-Origin', '*');
res.setHeader('Access-Control-Allow-Headers', 'origin, content-type, accept');
app.listen(5000, '127.0.0.1');
И на клиенте
const eventSource = new EventSource("http://127.0.0.1:5000/api/test");
И всё должно заработать.