Не угадал :) -1/12

Более того, это даже наблюдается... правда чуть для другого ряда 1 + 8 + 27 + 64 + ... = 1/120

для действительных чисел?

Для действительных чисел, как части комплексных чисел :)

ох уж эти комплексные приблуды

Более того, это даже наблюдается... правда чуть для другого ряда 1 + 8 + 27 + 64 + ... = 1/120

В смысле в природе наблюдается прям.

Сумма бесконечного ряда натуральных чисел описывается как дзета-функция Римана от -1 (кубов натуральных чисел - от -3)

Кстати, забавно, но индус, впервые открывший сей факт, таки утверждал что ему это нашептала богиня во сне.

ох уж эти комплексные приблуды

Тут тонкость в том, что дзета-функция Римана определена для комплексных числе. Но в данном случае и входной и выходной результат - числа действительные.

1 - тоже комплексное число, так-то...

так. это заставляет меня страдать

умно

Generally speaking, it is incorrect to manipulate infinite series as if they were finite sums. For example, if zeroes are inserted into arbitrary positions of a divergent series, it is possible to arrive at results that are not self-consistent, let alone consistent with other methods. In particular, the step 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ is not justified by the additive identity law alone. For an extreme example, appending a single zero to the front of the series can lead to inconsistent results.[1] One way to remedy this situation, and to constrain the places where zeroes may be inserted, is to keep track of each term in the series by attaching a dependence on some function.[10] In the series 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, each term n is just a number. If the term n is promoted to a function n−s, where s is a complex variable, then one can ensure that only like terms are added. The resulting series may be manipulated in a more rigorous fashion, and the variable s can be set to −1 later. The implementation of this strategy is called zeta function regularization.

это как если начать считать ряд натуральных чисел и ряд их квадратов

Generally speaking, it is incorrect to manipulate infinite series as if they were finite sums. For example, if zeroes are inserted into arbitrary positions of a divergent series, it is possible to arrive at results that are not self-consistent, let alone consistent with other methods. In particular, the step 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + ⋯ is not justified by the additive identity law alone. For an extreme example, appending a single zero to the front of the series can lead to inconsistent results.[1] One way to remedy this situation, and to constrain the places where zeroes may be inserted, is to keep track of each term in the series by attaching a dependence on some function.[10] In the series 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, each term n is just a number. If the term n is promoted to a function n−s, where s is a complex variable, then one can ensure that only like terms are added. The resulting series may be manipulated in a more rigorous fashion, and the variable s can be set to −1 later. The implementation of this strategy is called zeta function regularization.

На самом деле это всё достаточно, скажем так, "детские" объяснения. Они нужны и важны для того чтобы понять как можно к такому результату придти. Тем не менее настоящей причиной является скорее именно аналитическое продление дзета-функции Римана.

в любом случае ее результат нельзя считать актуальным в среде действительных чисел

в любом случае ее результат нельзя считать актуальным в среде действительных чисел

Можно и нужно.

онтологически неправильно

Потому что действительные числа - подмножество комплексных.

Более того, ряд характерных свойств дзета-функция имеет именно для действительных чисел (в частности тривиальные нули дзета-функции от чётных отрицательных аргументов).

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + .... = 0 Это важно.

это уводит нас от реальности к моделям

это уводит нас от реальности к моделям

Тем не менее этой модели соответствует наблюдаемое физическое явление: эффект Казимира. Расчёт его величины опирается на дзета-функцию от -3 (1/120).

многа цыфер

это уже интереснее

К сожалению, измрения в пространстве иных размерностей нам недоступны. Поэтому мы не можем проверить смену знака эффекта Казимира в одномерном пространстве.

ζ(-1) = -1/12; ζ(-2) = 0; ζ(-3) = 1/120 В эффекте Казимира берётся дзета-функция от размерности пространства умноженной на -1.

это уводит нас от реальности к моделям

Безусловно, возможно проблема в тех формулах в которых вообще эта дзета-функция возникла при обсчёте вакуума Казимира. Потому что формулы - модели, не реальность.

В этом вся суть: мы можем смотреть на местность. Но обсуждать можем только карты.

Более того: даже то что мы видим - это карта, проекция каких-то свойств на наши органы чувств. Не местность.

Безусловно, возможно проблема в тех формулах в которых вообще эта дзета-функция возникла при обсчёте вакуума Казимира. Потому что формулы - модели, не реальность.

Мы можем обсуждать карты и поэтому видим что они не сходятся. Есть формулы удобные для представления одних процессов есть формулы удобные для представления других, при этом они могут между собой не иметь ничего общего так как являются продуктами разных аксиоматических систем

Не угадал :) -1/12

Я что то не понял как у тебя получилось -1/12 из расходящегося ряда ;)

Я что то не понял как у тебя получилось -1/12 из расходящегося ряда ;)

Регулирование дзета-функцией. Или суммирование по Рамануджану....

Регулирование дзета-функцией. Или суммирование по Рамануджану....

Этот ряд равен бесконечности какбе

Об этом даже в википедии написано

Что дзета функция сходится только если действительная часть >1

Об этом даже в википедии написано

У нас разные вики? https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%B8%D0%B7_%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB#%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D0%B2_%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B1%D1%89%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D1%81%D0%BC%D1%8B%D1%81%D0%BB%D0%B5

Хех, и правда

Я стал стар :( пора в аптеку

Это приближенный ответ :)

https://mipt.ru/newsblog/lenta/naturalsum вот тут все расписано толково

Можно привести пример намного более простого и наглядного математического парадокса, связанного с выражением чего-то одного через что-то другое. Возьмем лист бумаги в клеточку и нарисуем ступенчатую линию с шириной и высотой ступеньки в одну клетку. Длина такой линии, очевидно, равна удвоенному числу клеток — а вот длина спрямляющей «лесенку» диагонали равна числу клеток, умноженному на корень из двух. Если сделать лесенку очень мелкой, она все равно будет той же длины и практически не отличимая от диагонали ломаная линия окажется в корень из двух раз больше той самой диагонали! Как видите, для парадоксальных примеров писать длинные сложные формулы вовсе не обязательно.

В данной ситуации надо отметить, что получается бесконечность - это приближённый результат ("лесенкой"), а -1/12 - точный. А не наоборот!

Я ещё раз повторю: подход Рамануджана (равно как и подход с жонглированием рядами) были важным элементом понимания что получится -1/12. Тем не менее истинной причиной является (на сегодняшнем уровне понимания) именно аналитическое продление дзета-функции Римана.

Вот это важно - что на сегодняшнем уровне понимания. А по поводу сегодняшнего уровня понимания тоже ведется рубилово :)

Гедель против Гильберта и все такое

И стоит отметить, что сумма бесконечного ряда — это не сумма чисел. Она получается совершенно другой операцией — не сложением, а предельным переходом для последовательности частичных сумм. Обобщённая сумма ряда — тоже предельный переход, но применённый к другой последовательности.

Формула Эйлера-Маклорена, если не вдаваться в дебри математического анализа, является таким же приближением, как и ломаная линия вместо прямой. Используя это приближение можно получить те самые −1/12, однако это далеко не всегда бывает уместно и оправдано. В ряде задач теоретической физики подобные выкладки применяются для расчетов, но это тот самый передний край исследований, где еще рано говорить о корректном отображении реальности математическими абстракциями, а расхождения разных вычислений друг с другом — вполне обычное дело.

так-то

Я ещё раз повторю: подход Рамануджана (равно как и подход с жонглированием рядами) были важным элементом понимания что получится -1/12. Тем не менее истинной причиной является (на сегодняшнем уровне понимания) именно аналитическое продление дзета-функции Римана.

куда сложнее поспорить с этим

хотя я бы не назвалл случай с ломанной парадоксом

парадокс обычной функции в границах действительных чисел удивляет больше